2021.06.03---期末备考：三角形的高线、中线、角平分线、内外角和等应用剖析

专题一 三角形的高、中线与角平分线剖析

一、三角形的高

1.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。如图，线段AD是BC边上的高。 注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

2.表示：1.AD是△ABC的BC上的高线；2.AD⊥BC于D；3.∠ADB=∠ADC=90°。

3.三角形高的交点位置：锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。如下图所示。

图1 图2 图3

4.三角形的三条高的特性

高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 二、三角形的中线

锐角三角形 3 相交 相交 三角形的内部 直角三角形 1 相交 相交 直角顶点 钝角三角形 1 不相交 相交 三角形的外部

1.三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线。

2.表示：1.AD是△ABC的BC上的中线；2.BD=DC=

1BC. 23.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。重心一定在三角形内。

三、三角形的角平分线

1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。

2.表示：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线；2.∠1=∠2=

1∠BAC. 23.三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。

1．（2020·重庆南开中学期末）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在AC上，且

AE:EC=1:3，连接AD，BE交于点F，若S△ABC=40，则S四边形DCEF=（ ）.

A．14

B．15 C．18

D．20

2．（2020·重庆南开中学）如图，ABC中，点D、E、F分别在三边上，AD、BE、CF交于一点G,E是AC的中点，BD2CD,SGDC6,SGEC4则SABC（ ）

A．

178 5B．

198 5C．40 D．42

3．（2020·河南宛城期末）如图在ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）

EADA．BFCF B．

1S△ABC2S△ABF BC C．CBAD D．

2

4．（2020·江苏海州期末）如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF=面积是（ ）

111EF，AD=FD，BE=DE，△DEF的面积是12，则△ABC的234

A．24.5

B．26 C．29.5 D．30

5．（2020·陕西渭滨期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝

1S△ABC.其中正确的个数有( ) 2

A．1个

B．2个 C．3个 D．4个

CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，6．（2019·广东深圳外国语学校期末）如图，在△ABC中，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE+CF的值为( )

2

2

A．6

B．9 C．18 D．36

7．（2020·江苏江阴·河塘中学月考）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的CD与AE相交于点F．一点，且BE＝4EC，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（ ）

A．24

B．25 C．30 D．32

8．（2020·长春市第四十七中学）如图，△ABC 中，点 D 是 AC 边上的中点，点 E 是 AB 边上的中点，若 SABC 12 ，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．6

B．4 C．3 D．2

cm，AB 9．（2020·江西南昌月考）如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为22 比AC 长3 cm，则△ACD的周长为（ ）

A．19 cm

B．22 cm C．25 cm D．31 cm

10．（2020·安徽安庆期中）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若BE=5，DE=2，则CD的长为（ ）

A．7

B．6 C．5 D．4

11．（2019·湖北蔡甸）如图，若ABC的三条角平分线AD、BE、CF交于点G，则与

EGC互余的角是( )

A．CGD

B．FAG C．ECG D．FBG

12．（2019·四川宜宾期末）在直角三角形ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点

D，BE平分ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BGDG交DG于点G.下列结论：①AFB135；②BDG2CBE；③BC平分ABG；④BECFBG.其中正确的个数是（ ）

A．1个

B．2个 C．3个

D．4个

13．（2020·广东龙岗·龙岭初级中学期中）如图△ABC中，分别延长边AB、BC、CA，使得BD=AB，CE=2BC，AF=3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为________.

14．（2019·四川绵阳月考）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为_____．

15．（2019·山东牡丹期末）如图ABC中，AD是BC边上的中线，BE是ABC中AD边上的中线，若ABC的面积是24，AE6，则点B到ED的距离是___．

16．（2019·广东佛山）如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝过D、G的直线交AC于点E，则

1BC，2AE＝_____． AC

17．（2020·江西全国月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，当P点在线段AD上运动时，∠E与∠B，∠ACB的数量关系为________

18．（2020·江苏姜堰期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于E，若∠C=80°，∠B=40°则∠DAE的度数为______．

19．（2020·江苏张家港期末）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B． （1）求证：ED∥BC；

（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6． ①求△ABC的面积；

②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．

20．（2020·江苏姜堰期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．

（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长； （2）当AD为∠BAC的角平分线时．

①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数； ②若∠C-∠B =20°，则∠DAE = °．

21．（2020·四川达川期末）如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线．

（1）若AB比AC长4 cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm． （2）若△AMC的面积为12 cm2，则△ABC的面积为__________cm 2．

（3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程）

22．（2019·昆明市官渡区第一中学月考）（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC两个内角∠ABC、∠ACB的平分线． ①若∠A＝70°，求∠BDC的度数．

②∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．(直接写出答案)

（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BEC的度数．

00

23．（2019·江苏宜兴期中）如图①，AD平分BAC，AE⊥BC，∠B=45,∠C=73．

（1） 求DAE的度数；

（2） 如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FEBC”，其它条件不变，求DFE 的度数；

（3） 如图③，若把“AE⊥BC”变成“AE平分BEC”，其它条件不变，DAE的大小是否变化，并请说明理由．

24．（2020·江苏泰州市凤凰初级中学月考）如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．

求证：（1）MO=MB；（2）MN=CN﹣BM．

专题二 三角形内角和与外角和定理剖析

【技巧解析】 1.三角形内角和定理

（1）三角形三个内角的和 180°.

（2）在三角形中，已知任意两个角的度数，可求出第3个角的度数；

（3）已知三角形中三个内角关系，可利用三角形内角和等于180°，列方程求出各内角的度数.

2.三角形外角性质

（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

（2）三角形内角和的另一个推论：三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角. 3.三角形外角和定理

（1）在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和. （2）三角形外角和为360°.

1．（2020·阳江市阳东区大八镇大八初级中学月考）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C =25°，则∠E等于（ ）

A．60°

B．25°

C．35° D．45°

2．（2020·浙江西湖期末）如图,直线l1∥l2,线段AB交l1,l2于D,B两点,过点A作AC⊥AB,交直线l1于点C,若∠1＝15,则∠2＝（ ）

A．95

B．105 C．115 D．125

3．（2020·辽宁丹东期末）如图，AB//CD，ACB90，CEAB，垂足为E，图中与CAB互余的角有（ ）

A．1个

B．2个 C．3个 D．4个

4．（2020·全国）如图，在△CEF中，E80，F50，AB连接BC，CD，则A的度数是（ ）

CF，ADCE，

A．45°

B．50° C．55° D．80°

AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，5．（2020·银川月考）如图，在直角三角形ABC中，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是( )

A．3个

B．4个 C．5个 D．6个

6．（2020·山东芝罘期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AC上一点，且∠ADE＝∠B，则∠CDE的度数是（ ）

A．20°

B．30° C．40° D．70°

7．（2020·枣庄市市中区实验中学月考）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝( )

A．45°

B．54° C．56° D．66°

8．（2020·四川省营山中学校期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于( )

A．40°

B．60° C．80° D．140°

9．（2020·江苏东台月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A = 50°,∠D =10°，则∠P的度数为( )

A．15°

B．20°

C．25° D．30°

10．（2020·南通市八一中学）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（ ）

A．36°

B．39° C．38° D．40°

11．（2019·四川江油期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（ ）

A．120°

B．135° C．150° D．不能确定

12．（2020·全国）如图，在ABC中，∠ABCACB，BD是ABC内角ABC的平分线，AD是ABC外角EAC的平分线，CD是ABC外角ACF的平分线，以下结论不正确的是（ ）

A．AD//BC

C．ADC90ABD

B．ACB2ADB D．BD平分ADC

13．（2020·博兴县吕艺镇中学月考）如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠A=100°，则∠BGC=_________°．

14．（2020·辽宁中山期末）如图，AE平分BAC,BEAE于E,ED//AC，BACa,则BED的度数为________________．(用含的式子表示)

15．（2020·福建新罗期末）一副三角尺如图摆放，D是BC延长线上一点，E是AC上一点，BEDF90，A30，F45，若EF∥BC，则CED等于_________度．

16．（2020·江苏张家港期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠B与∠ADC互为DC′平分∠ADE，补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DC′E，若AB∥C′E，则∠A的度数为______°．

17．（2019·温州外国语学校期中）如图1，已知长方形坻带ABCD，AD//CD，AD//BC．将纸带沿EF折叠后，点B、再沿GF折叠成图2．点C分别落在H、G的位置．

A、D分别落在Q、H的位置，已知2QHG4GFH108，则EFC_______．

18．（2020·哈尔滨市第四十七中学期中）在四边形ABCD中，ADC与BCD的角平分线交于点E，DEC115，过点B作BF//AD交CE于点F，CE2BF，

5CBFBCE，连接BE，SΔBCE4，则CE__________．

4

AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，19．（2020·江苏工业园区期末）如图，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G． （1）求∠AGF的度数； （2）求∠DAE的度数．

20．（2020·福建惠安期末）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．

（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；

（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处． ①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；

②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．

21．（2020·江苏邳州期中）如图，△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高．

（1）若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数；

（2）若∠B＝m°，∠C＝n°，（m＜n），则∠DAE＝ °（直接用m、n表示）．

22．（2020·湖北武汉期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G． （1）求证：AD∥BC；

（2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE．求∠CAE的度数；

（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数 ．

AD是高，AE，BF是角平分线，23．（2019·洛阳市第五十四中学月考）如图，在ABC中，它们相交于点O．

（1）若ABC60，C70，求DAE的度数． （2）若C70，求BOE的度数．

（3）若ABC，C()，则∠DAE______用含α、β的式子表示)

24．（2020·北京朝阳期末）线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．

（1）若点P在线段AD上，如图1， ①依题意补全图1；

②判断AM与DN的位置关系，并证明；

（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．

专题三 角平分线的性质与判定强化

1.角的平分线的性质

（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. （2）用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

2.角的平分线的判定

（1）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

（2）用符号语言表示角的平分线的判定

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

3.角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于

1DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 2（3）画射线OC. 射线OC即为所求.

4.三角形角平分线的性质

（1）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

（2）三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为P2,P3,P4，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 1，旁心为P

1．（2020·南通市通州区平潮初级中学期中）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA=2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）

A．8 B．9 C．10

D．11

2．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校月考）如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD=ED ②∠A=∠BED ③∠C=∠B ④AC=EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是（ ）.

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

3．（2020·吉林长春外国语学校月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为（ ）

A．13

B．14 C．15

D．21

4．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）如图所示，12，34，则下列结论正确的有（ ）

①AD平分BAF；②AF平分BAC；③AE平分DAF；④AF平分DAC；⑤AE平分BAC．

A．4个

B．3个 C．2个 D．1个

5．（2020·辽宁北镇期末）如图，AB//CD，BE和CE分别平分ABC和BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为( )

A．8

B．6

C．5 D．4

6．（2020·陕西商州·期末）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（ ）

A．35°

B．45° C．55° D．65°

7．（2020·辽宁凌海期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（ ）

A．P点

B．Q点

C．M点 D．N点

8．（2020·云南昭通期末）如图，OP平分AOB，PDOA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD3，则PE的最小值（ ）

A．等于3

B．大于3 C．小于3 D．无法确定

9．（2019·贵州遵义）如图，已知AEFDFE,EHFH于点H，EG平分AEF，平移EH恰好到GF，连接EG，则下列结论：①AB//CD；②EGHF；③EH平分

BEF，FH平分EFD；④GFH90．其中正确的结论个数是（ ）

A．1个

B．2个

C．3个 D．4个

10．（2020·贵州赫章期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于

1PQ的长为半径画弧，2两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（ ）

A．2 B．2.4 C．3

D．4

11．（2020·湖北襄城期末）若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线( ) A．互相垂直

B．互相平行

C．相交或平行

D．不相等

12．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE90，BD,CE交于点F，连接AF，下列结论：①BDCE；②

BFCF；③AF平分CAD；④AFE45．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个 D．4个

13．（2019·广西玉林期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O，则SABO:SBCO:SCAO_____．

C90，AD平分BAC，DEAB14．（2020·山东牡丹期末）如图所示，在ABC中，

于E，BC8cm，则DEDB________．

15．（2020·南京外国语学校期中）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．

AB∥CD，O为∠BAC、OE⊥AC16．（2019·江苏高邮期中）如图，∠ACD的平分线的交点，于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于____．

17．（2019·深圳实验学校中学部期中）如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=60°，D为△ABC外一点，DA平分∠BAC，且CBD=50°，则∠DCB的度数是_______.

18．（2020·宜春市第三中学期末）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．

19．（2020·山东日照期末）如图，点D为线段BC上的一点，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°． （1）AD与EF平行吗，请说明理由：

（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，∠F=∠H，那么AD平分∠BAC吗，请说明理由．

20．（2020·山东期末）如图所示，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，

(1)若∠AEF＝50°，求∠EFG的度数． (2)判断EG与FG的位置关系，并说明理由．

CD与MN相交于M、N，21．（2019·广东郁南期末）如图，直线AB、∠1=105°，∠2=75°，E、F、O分别在AB、CD、MN上，OEOF．

（1）求证：AB//CD； （2）求34的度数；

（3）若分别在OE、CD上取点G、H，使得FO平分CFG，OE平分AEH，求证：

FG//EH．

22．（2020·广西覃塘期末）如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，

12180，3B．

（1）请说明DE//BC的理由；

（2）若DE平分ADC，22B，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．

23．（2019·广东中山期末）如图，已知AB//CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点P是射线EB上一点(与点E不重合)．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作NH⊥FM于点H． （1）若∠BEF=64°，求∠FNH的度数；

（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．

24．（2020·山西交城期中）如图，已知PMAN，且A50，点C是射线AN上一

动点（不与点A重合），PB，PD分别平分APC和MPC．交射线AN于点B，D．

（1）求BPD的度数；

（2）当点C运动到使PBAAPD时，求APB的度数；

（3）在点C运动过程中，PCA与PDA之间是否存在一定数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．