专题一 三角形的高、中线与角平分线剖析
一、三角形的高
1.三角形的高定义:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高,简称三角形的高。如图,线段AD是BC边上的高。 注意:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。
2.表示:1.AD是△ABC的BC上的高线;2.AD⊥BC于D;3.∠ADB=∠ADC=90°。
3.三角形高的交点位置:锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交点在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。如下图所示。
图1 图2 图3
4.三角形的三条高的特性
高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 二、三角形的中线
锐角三角形 3 相交 相交 三角形的内部 直角三角形 1 相交 相交 直角顶点 钝角三角形 1 不相交 相交 三角形的外部
1.三角形的中线定义:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边上的中线。
2.表示:1.AD是△ABC的BC上的中线;2.BD=DC=
1BC. 23.三角形的重心:三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。重心一定在三角形内。
三、三角形的角平分线
1.三角形的角平分线定义:在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
2.表示:1.AD是△ABC的∠BAC的平分线;2.∠1=∠2=
1∠BAC. 23.三角形的角平分线的位置:三角形的三条角平分线都在三角形的内部,并且三条角平分线交于三角形内一点。
1.(2020·重庆南开中学期末)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在AC上,且
AE:EC=1:3,连接AD,BE交于点F,若S△ABC=40,则S四边形DCEF=( ).
A.14
B.15 C.18
D.20
2.(2020·重庆南开中学)如图,ABC中,点D、E、F分别在三边上,AD、BE、CF交于一点G,E是AC的中点,BD2CD,SGDC6,SGEC4则SABC( )
A.
178 5B.
198 5C.40 D.42
3.(2020·河南宛城期末)如图在ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是( )
EADA.BFCF B.
1S△ABC2S△ABF BC C.CBAD D.
2
4.(2020·江苏海州期末)如图,D、E、F是△ABC内的三个点,且D在AF上,F在CE上,E在BD上,若CF=面积是( )
111EF,AD=FD,BE=DE,△DEF的面积是12,则△ABC的234
A.24.5
B.26 C.29.5 D.30
5.(2020·陕西渭滨期末)如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,点F为BC的中点,若∠BAC=104°,∠C=40°,则有下列结论:①∠BAE=52°;②∠DAE=2°;③EF=ED;④S△ABF=
1S△ABC.其中正确的个数有( ) 2
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,6.(2019·广东深圳外国语学校期末)如图,在△ABC中,且EF∥BC交AC于M,若CM=3,则CE+CF的值为( )
2
2
A.6
B.9 C.18 D.36
7.(2020·江苏江阴·河塘中学月考)如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC上的CD与AE相交于点F.一点,且BE=4EC,若△CEF的面积为1,则△ABC的面积为( )
A.24
B.25 C.30 D.32
8.(2020·长春市第四十七中学)如图,△ABC 中,点 D 是 AC 边上的中点,点 E 是 AB 边上的中点,若 SABC 12 ,则图中阴影部分的面积是( )
A.6
B.4 C.3 D.2
cm,AB 9.(2020·江西南昌月考)如图,AD 是△ABC 的中线,已知△ABD 的周长为22 比AC 长3 cm,则△ACD的周长为( )
A.19 cm
B.22 cm C.25 cm D.31 cm
10.(2020·安徽安庆期中)如图,AE是△ABC的中线,D是BE上一点,若BE=5,DE=2,则CD的长为( )
A.7
B.6 C.5 D.4
11.(2019·湖北蔡甸)如图,若ABC的三条角平分线AD、BE、CF交于点G,则与
EGC互余的角是( )
A.CGD
B.FAG C.ECG D.FBG
12.(2019·四川宜宾期末)在直角三角形ABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点
D,BE平分ABC交AC于点E,AD、BE相交于点F,过点D作DG∥AB,过点B作BGDG交DG于点G.下列结论:①AFB135;②BDG2CBE;③BC平分ABG;④BECFBG.其中正确的个数是( )
A.1个
B.2个 C.3个
D.4个
13.(2020·广东龙岗·龙岭初级中学期中)如图△ABC中,分别延长边AB、BC、CA,使得BD=AB,CE=2BC,AF=3CA,若△ABC的面积为1,则△DEF的面积为________.
14.(2019·四川绵阳月考)如图,已知△ABC的周长为21cm,AB=6cm,BC边上中线AD=5cm,△ABD的周长为15cm,则AC长为_____.
15.(2019·山东牡丹期末)如图ABC中,AD是BC边上的中线,BE是ABC中AD边上的中线,若ABC的面积是24,AE6,则点B到ED的距离是___.
16.(2019·广东佛山)如图,G为△ABC的重心,点D在CB延长线上,且BD=过D、G的直线交AC于点E,则
1BC,2AE=_____. AC
17.(2020·江西全国月考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E,当P点在线段AD上运动时,∠E与∠B,∠ACB的数量关系为________
18.(2020·江苏姜堰期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC交BC于E,若∠C=80°,∠B=40°则∠DAE的度数为______.
19.(2020·江苏张家港期末)如图,已知∠BDC+∠EFC=180°,∠DEF=∠B. (1)求证:ED∥BC;
(2)若D,E,F分别是AB,AC,CD边上的中点,四边形ADFE的面积为6. ①求△ABC的面积;
②若G是BC边上一点,CG=2BG,求△FCG的面积.
20.(2020·江苏姜堰期中)如图,在△ABC中,AE为边BC上的高,点D为边BC上的一点,连接AD.
(1)当AD为边BC上的中线时.若AE=4,△ABC的面积为24,求CD的长; (2)当AD为∠BAC的角平分线时.
①若∠C =65°,∠B =35°,求∠DAE的度数; ②若∠C-∠B =20°,则∠DAE = °.
21.(2020·四川达川期末)如图,在△ABC中,AM是中线,AD是高线.
(1)若AB比AC长4 cm,则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm. (2)若△AMC的面积为12 cm2,则△ABC的面积为__________cm 2.
(3)若AD又是△AMC的角平分线,∠AMB=130°,求∠ACB的度数.(写过程)
22.(2019·昆明市官渡区第一中学月考)(1)如图1,在△ABC中,BD、CD分别是△ABC两个内角∠ABC、∠ACB的平分线. ①若∠A=70°,求∠BDC的度数.
②∠A=α,请用含有α的代数式表示∠BDC的度数.(直接写出答案)
(2)如图2,BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线.若∠A=α,请用含有α的代数式表示∠BEC的度数.
00
23.(2019·江苏宜兴期中)如图①,AD平分BAC,AE⊥BC,∠B=45,∠C=73.
(1) 求DAE的度数;
(2) 如图②,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FEBC”,其它条件不变,求DFE 的度数;
(3) 如图③,若把“AE⊥BC”变成“AE平分BEC”,其它条件不变,DAE的大小是否变化,并请说明理由.
24.(2020·江苏泰州市凤凰初级中学月考)如图,已知在△ABC中,△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O,MN过点O,且MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N.
求证:(1)MO=MB;(2)MN=CN﹣BM.
专题二 三角形内角和与外角和定理剖析
【技巧解析】 1.三角形内角和定理
(1)三角形三个内角的和 180°.
(2)在三角形中,已知任意两个角的度数,可求出第3个角的度数;
(3)已知三角形中三个内角关系,可利用三角形内角和等于180°,列方程求出各内角的度数.
2.三角形外角性质
(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形内角和的另一个推论:三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角. 3.三角形外角和定理
(1)在三角形的每个顶点处取一个外角,三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和. (2)三角形外角和为360°.
1.(2020·阳江市阳东区大八镇大八初级中学月考)如图,已知AB∥CD,∠A=60°,∠C =25°,则∠E等于( )
A.60°
B.25°
C.35° D.45°
2.(2020·浙江西湖期末)如图,直线l1∥l2,线段AB交l1,l2于D,B两点,过点A作AC⊥AB,交直线l1于点C,若∠1=15,则∠2=( )
A.95
B.105 C.115 D.125
3.(2020·辽宁丹东期末)如图,AB//CD,ACB90,CEAB,垂足为E,图中与CAB互余的角有( )
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
4.(2020·全国)如图,在△CEF中,E80,F50,AB连接BC,CD,则A的度数是( )
CF,ADCE,
A.45°
B.50° C.55° D.80°
AC≠AB,AD是斜边上的高,DE⊥AC,5.(2020·银川月考)如图,在直角三角形ABC中,DF⊥AB,垂足分别为E、F,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是( )
A.3个
B.4个 C.5个 D.6个
6.(2020·山东芝罘期中)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠C=80°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E是AC上一点,且∠ADE=∠B,则∠CDE的度数是( )
A.20°
B.30° C.40° D.70°
7.(2020·枣庄市市中区实验中学月考)如图,AD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分线,BE,AD相交于点F,已知∠BAD=42°,则∠BFD=( )
A.45°
B.54° C.56° D.66°
8.(2020·四川省营山中学校期中)如图,将△ABC纸片沿DE折叠,点A的对应点为A’,若∠B=60°,∠C=80°,则∠1+∠2等于( )
A.40°
B.60° C.80° D.140°
9.(2020·江苏东台月考)如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠A = 50°,∠D =10°,则∠P的度数为( )
A.15°
B.20°
C.25° D.30°
10.(2020·南通市八一中学)如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,若∠A=40°,∠P=38°,则∠C的度数为( )
A.36°
B.39° C.38° D.40°
11.(2019·四川江油期中)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M、N分别是BA、CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,∠F的度数为( )
A.120°
B.135° C.150° D.不能确定
12.(2020·全国)如图,在ABC中,∠ABCACB,BD是ABC内角ABC的平分线,AD是ABC外角EAC的平分线,CD是ABC外角ACF的平分线,以下结论不正确的是( )
A.AD//BC
C.ADC90ABD
B.ACB2ADB D.BD平分ADC
13.(2020·博兴县吕艺镇中学月考)如图,△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G,∠A=100°,则∠BGC=_________°.
14.(2020·辽宁中山期末)如图,AE平分BAC,BEAE于E,ED//AC,BACa,则BED的度数为________________.(用含的式子表示)
15.(2020·福建新罗期末)一副三角尺如图摆放,D是BC延长线上一点,E是AC上一点,BEDF90,A30,F45,若EF∥BC,则CED等于_________度.
16.(2020·江苏张家港期末)如图,在四边形ABCD中,∠B=120°,∠B与∠ADC互为DC′平分∠ADE,补角,点E在BC上,将△DCE沿DE翻折,得到△DC′E,若AB∥C′E,则∠A的度数为______°.
17.(2019·温州外国语学校期中)如图1,已知长方形坻带ABCD,AD//CD,AD//BC.将纸带沿EF折叠后,点B、再沿GF折叠成图2.点C分别落在H、G的位置.
A、D分别落在Q、H的位置,已知2QHG4GFH108,则EFC_______.
18.(2020·哈尔滨市第四十七中学期中)在四边形ABCD中,ADC与BCD的角平分线交于点E,DEC115,过点B作BF//AD交CE于点F,CE2BF,
5CBFBCE,连接BE,SΔBCE4,则CE__________.
4
AD、AE分别是△ABC的高和角平分线,19.(2020·江苏工业园区期末)如图,∠B=50°,∠ACB=80°.点F在BC的延长线上,FG⊥AE,垂足为H,FG与AB相交于点G. (1)求∠AGF的度数; (2)求∠DAE的度数.
20.(2020·福建惠安期末)在△ABC中,∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D.
(1)如图1,若∠B=60°,求∠D的度数;
(2)如图2,把△ACD沿AC翻折,点D落在D′处. ①当AD′⊥AD时,求∠BAC的度数;
②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系,并说明理由.
21.(2020·江苏邳州期中)如图,△ABC中,AE是△ABC的角平分线,AD是BC边上的高.
(1)若∠B=35°,∠C=75°,求∠DAE的度数;
(2)若∠B=m°,∠C=n°,(m<n),则∠DAE= °(直接用m、n表示).
22.(2020·湖北武汉期末)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,点E为BC延长线上一点,连接AE,AE交CD于H.∠DCE的平分线交AE于G. (1)求证:AD∥BC;
(2)若∠BAC=∠DAE,∠AGC=2∠CAE.求∠CAE的度数;
(3)(2)中条件∠BAC=∠DAE仍然成立,若∠AGC=3∠CAE,直接写出∠CAE的度数 .
AD是高,AE,BF是角平分线,23.(2019·洛阳市第五十四中学月考)如图,在ABC中,它们相交于点O.
(1)若ABC60,C70,求DAE的度数. (2)若C70,求BOE的度数.
(3)若ABC,C(),则∠DAE______用含α、β的式子表示)
24.(2020·北京朝阳期末)线段AB与线段CD互相平行,P是平面内的一点,且点P不在直线AB,CD上,连接PA,PD,射线AM,DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线.
(1)若点P在线段AD上,如图1, ①依题意补全图1;
②判断AM与DN的位置关系,并证明;
(2)是否存在点P,使AM⊥DN?若存在,直接写出点P的位置;若不存在,说明理由.
专题三 角平分线的性质与判定强化
1.角的平分线的性质
(1)角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等. (2)用符号语言表示角的平分线的性质定理:
若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF.
2.角的平分线的判定
(1)角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(2)用符号语言表示角的平分线的判定
若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB
3.角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于D,交OB于E. (2)分别以D、E为圆心,大于
1DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C. 2(3)画射线OC. 射线OC即为所求.
4.三角形角平分线的性质
(1)三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
(2)三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示:△ABC的内心为P2,P3,P4,这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 1,旁心为P
1.(2020·南通市通州区平潮初级中学期中)如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC,BA:CA=2:3,AD与BE相交于点O,若△OAE的面积比△BOD的面积大1,则△ABC的面积是( )
A.8 B.9 C.10
D.11
2.(2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校月考)如图,已知CD⊥AB于D,现有四个条件:①AD=ED ②∠A=∠BED ③∠C=∠B ④AC=EB,那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是( ).
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
3.(2020·吉林长春外国语学校月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为( )
A.13
B.14 C.15
D.21
4.(2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末)如图所示,12,34,则下列结论正确的有( )
①AD平分BAF;②AF平分BAC;③AE平分DAF;④AF平分DAC;⑤AE平分BAC.
A.4个
B.3个 C.2个 D.1个
5.(2020·辽宁北镇期末)如图,AB//CD,BE和CE分别平分ABC和BCD,AD过点E,且与AB互相垂直,点P为线段BC上一动点,连接PE.若AD=8,则PE的最小值为( )
A.8
B.6
C.5 D.4
6.(2020·陕西商州·期末)如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,FG平分∠EFD交AB于点G,若∠BEF=70°,则∠AGF的度数为( )
A.35°
B.45° C.55° D.65°
7.(2020·辽宁凌海期末)在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是( )
A.P点
B.Q点
C.M点 D.N点
8.(2020·云南昭通期末)如图,OP平分AOB,PDOA于点D,点E是射线OB上的一个动点,若PD3,则PE的最小值( )
A.等于3
B.大于3 C.小于3 D.无法确定
9.(2019·贵州遵义)如图,已知AEFDFE,EHFH于点H,EG平分AEF,平移EH恰好到GF,连接EG,则下列结论:①AB//CD;②EGHF;③EH平分
BEF,FH平分EFD;④GFH90.其中正确的结论个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个 D.4个
10.(2020·贵州赫章期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,以点B为圆心,以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点,再分别以点P,Q为圆心,大于
1PQ的长为半径画弧,2两弧相交于点N,射线BN交AC于点D.若AB=10,AC=8,则CD的长是( )
A.2 B.2.4 C.3
D.4
11.(2020·湖北襄城期末)若两条直线被第三条直线所截,有一对同位角相等,则其中一对同旁内角的角平分线( ) A.互相垂直
B.互相平行
C.相交或平行
D.不相等
12.(2020·湖北省直辖县级单位·中考真题)如图,已知ABC和ADE都是等腰三角形,BACDAE90,BD,CE交于点F,连接AF,下列结论:①BDCE;②
BFCF;③AF平分CAD;④AFE45.其中正确结论的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个 D.4个
13.(2019·广西玉林期末)如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为14,12,8,其三条角平分线的交点为O,则SABO:SBCO:SCAO_____.
C90,AD平分BAC,DEAB14.(2020·山东牡丹期末)如图所示,在ABC中,
于E,BC8cm,则DEDB________.
15.(2020·南京外国语学校期中)如图,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8.若S△ABC=21,则DE=________.
AB∥CD,O为∠BAC、OE⊥AC16.(2019·江苏高邮期中)如图,∠ACD的平分线的交点,于E,且OE=1,则AB与CD之间的距离等于____.
17.(2019·深圳实验学校中学部期中)如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=60°,D为△ABC外一点,DA平分∠BAC,且CBD=50°,则∠DCB的度数是_______.
18.(2020·宜春市第三中学期末)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PC=4,点D是射线OA上的一个动点,则PD的最小值为_____.
19.(2020·山东日照期末)如图,点D为线段BC上的一点,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF与AC相交于点G,∠BDA+∠CEG=180°. (1)AD与EF平行吗,请说明理由:
(2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C,∠F=∠H,那么AD平分∠BAC吗,请说明理由.
20.(2020·山东期末)如图所示,直线AB∥CD,直线AB、CD被直线EF所截,EG平分∠BEF,FG平分∠DFE,
(1)若∠AEF=50°,求∠EFG的度数. (2)判断EG与FG的位置关系,并说明理由.
CD与MN相交于M、N,21.(2019·广东郁南期末)如图,直线AB、∠1=105°,∠2=75°,E、F、O分别在AB、CD、MN上,OEOF.
(1)求证:AB//CD; (2)求34的度数;
(3)若分别在OE、CD上取点G、H,使得FO平分CFG,OE平分AEH,求证:
FG//EH.
22.(2020·广西覃塘期末)如图,D,E,G分别是AB,AC,BC边上的点,
12180,3B.
(1)请说明DE//BC的理由;
(2)若DE平分ADC,22B,判断CD与EG的位置关系,并说明理由.
23.(2019·广东中山期末)如图,已知AB//CD,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,点P是射线EB上一点(与点E不重合).FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD,FM、FN交直线AB于点M、N,过点N作NH⊥FM于点H. (1)若∠BEF=64°,求∠FNH的度数;
(2)猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系,并加以证明.
24.(2020·山西交城期中)如图,已知PMAN,且A50,点C是射线AN上一
动点(不与点A重合),PB,PD分别平分APC和MPC.交射线AN于点B,D.
(1)求BPD的度数;
(2)当点C运动到使PBAAPD时,求APB的度数;
(3)在点C运动过程中,PCA与PDA之间是否存在一定数量关系?若存在,请写出它们之间的数量关系,并说明理由;若不存在,请举出反例.
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