2-11 课后·演练·提升

一、填空题

1

1．函数f(x)＝x(ex－1)－2x2的单调增区间是________．

2．函数y＝x3＋ax＋b在区间[－1,1]上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则a等于________．

3．(2011·扬州调研)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．

1

4．函数f(x)＝2x2－ln x的最小值为________．

5．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．

6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________. 1π

7．函数f(x)＝2ex(sin x＋cos x)在区间[0，2]上的最小值是________． 8．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－

33 ，)，则a的范围是________． 33

1

9．已知函数f(x)＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．

二、解答题

3

10．设函数f(x)＝ax3＋2(2a－1)·x2－6x(a∈R)． 1

(1)当a＝3时，求f(x)的极大值和极小值；

(2)当a＞0时，函数f(x)在区间(－2,3)上是减函数，求实数a的取值范围． 1

11．(2011·常州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值2. (1)求a，b的值；

(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．

12．(2010·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．

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(1)求f(x)的表达式；

(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．

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答案及解析

1．【解析】 易知f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(x＋1)(ex－1)， 令f′(x)＞0，得x＞0或x＜－1. 【答案】 (－∞，－1)和(0，＋∞)

2.【解析】 y′＝3x2＋a，由题意知，当x＝1时，y′＝0，∴a＝－3. 【答案】 －3

3.【解析】 f′(x)＝3x2－6b，且f(x)在(0,1)内有极小值． ∴f′(x)＝0在(0,1)内有解，

1易知b＞0且0＜2b＜1，解之得0＜b＜2. 1

【答案】 (0，2)

2

1x－1

4.【解析】 f′(x)＝x－x＝x，且x＞0.

x2－1

令f′(x)＝x＞0，且x＞0，得x＞1； x2－1

令f′(x)＝x＜0，且x＞0，得0＜x＜1. 11

∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝2－ln 1＝2. 1

【答案】 2

5.【解析】 令f′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝±1，

可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2，

如图所示，由图可知－2课堂新坐标让您感受品质的魅力

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【答案】 (－2,2)

6．【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

2

f1＝10，1＋a＋b＋a＝10，

由题意即

f′1＝0，3＋2a＋b＝0，

消去b，得a＝4或a＝－3.

但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值． ∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18. 【答案】 18

1x1x

7.【解析】 f′(x)＝2e(cos x－sin x)＋2e(sin x＋cos x)＝excos x，π

∵0≤x≤2，∴f′(x)≥0，且f′(x)不恒为0.

π

因此f(x)在[0，2]上是增函数． 1

∴f(x)最小值为f(0)＝2. 1

【答案】 2

33

8.【解析】 ∵y′＝a(3x－1)＝3a(x＋3)(x－3)，

2

3333

∴当－30. 【答案】 a>0

1

9.【解析】 因为函数f(x)＝2x4－2x3＋3m， 所以f′(x)＝2x3－6x2， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3， 经检验知x＝3是函数的最小值点， 27

所以函数的最小值为f(3)＝3m－2，

不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立， 273

所以3m－2≥－9，解得m≥2.

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3

【答案】 m≥2

111

10.【解】 (1)当a＝3时，f(x)＝3x3－2x2－6x， f′(x)＝x2－x－6，

令f′(x)＝0得x＝－2或x＝3，

∴f(x)在(－∞，－2)递增，在(－2,3)递减，在(3，＋∞)递增，∴f(x)的极大值22

为f(－2)＝3，

27

f(x)的极小值为f(3)＝－2，

(2)f′(x)＝3ax2＋3(2a－1)x－6＝3(ax－1)(x＋2)， 1

由a≠0，则令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝a，

∵f(x)在区间(－2,3)上是减函数，x∈(－2,3)时f′(x)＜0恒成立，又a＞0，1

∴ax－1＜0，即x＜a恒成立．

111因此a≥3.∴0＜a≤3.故实数a的取值范围是(0，3]． b1

11.【解】 (1)f′(x)＝2ax＋x.又f(x)在x＝1处有极值2. 1f1＝，2∴f′1＝0，

2a＋b＝0，

即1a＝.2

1

解之得a＝2，且b＝－1.

1

(2)由(1)可知f(x)＝2x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)， 1x＋1x－1

且f′(x)＝x－x＝.

x

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)， 单调增区间是(1，＋∞)．

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12.【解】 (1)由f′(x)＝3ax2＋2x＋b.得 g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b. 又g(x)是奇函数，则g(－x)＝－g(x)，

∴－ax3＋(3a＋1)x2－(b＋2)x＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]， 1

从而3a＋1＝0且b＝0，∴b＝0，a＝－3， 1

因此f(x)＝－3x3＋x2.

1

(2)由(1)知，g(x)＝－3x3＋2x， ∴g′(x)＝2－x2＝(2＋x)(2－x)，

当x∈[1,2]时，令g′(x)＝0，x＝2是极值点． 4254

又g(2)＝3，g(1)＝3，g(2)＝3. 424

因此g(x)在[1,2]上的最大值为g(2)＝3，最小值g(2)＝3.

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